Электровелосипед — физическая модель

От чего зависит дальность поездки обычного велосипеда и электровелосипеда? Давайте разберемся с формулами на примере MTB.

Содержание

Силы, действующие на велосипед

По классической теории сила велосипедиста с учетом КПД трансмиссии уравновешивается силами сопротивления качения, силой сопротивления воздуха и силой тяжести.

$F_v \cdot \eta_t = F_t + F_w + N$

$F_w = \frac{1}{2} C_x \cdot S \cdot \rho \cdot V^2,$

$N = sin(\alpha)\cdot m \cdot g \cdot R,$

$F_t = \frac f R \cdot cos(\alpha) \cdot m \cdot g$

$P_v = F_v \cdot V$

Где:
$F_v$ — сила велосипедиста (мышечная) [H],
$\eta_t$ — КПД трансмиссии велосипеда 0.96,
$F_t$ — сила трения качения [H],
$F_w$ — сила сопротивления воздуха [H],
$N$ — сила торможения/ускорения на подъеме/спуске под углом $\alpha$ [H],
$C_x$ — коэффициент аэродинамического сопротивления 1,0,
$S$ — площадь поперечной проекции велосипед+велосипедист 0,5 [ $m^2$ ],
$\rho$ — плотность воздуха 1,2754 [кг/м³],
$V$ — скорость [м/с],
$m$ — масса велосипеда с велосипедистом 85 [кг],
$g$ — ускорение свободного падения 9,8 [ $mc^2$ ],
$R$ — радиус колеса 0,33 для 26″ [м],
$f$ — коэффициент трения качения 0,01 колесо-асфальт для MTB.
$P_v$ — потребная мощность при педалировании для достижения скорости $V$ [Вт].

Согласно формулам, основная битва по улучшению технического качества велосипеда ведется на полях снижения коэффициента аэродинамического сопротивления, коэффициента трения качения, веса, площади поперечной проекции велосипеда. Я привел отправные значения коэффициентов для MTB, подставил в формулы и нарисовал график. Для шоссейного велосипеда он будет сильно отличаться.

Что же дает нам анализ этих страшных формул и графиков?

Выводы по классическому горному велосипеду

Для горного велосипеда очень важен коэффициент трения качения. Движение по грунту требует малого давления в шинах и зубастую широкую резину. Такую мы получаем в стоке из магазина, при этом она чаще всего еще и тяжелая и жесткая. Если катаемся большую часть времени по асфальту, то первое что нужно сделать — накачать, второе поменять резину на более мягкие слик, инвертированную или полуслик в зависимости от того, как часто съезжаете с асфальта и катаетесь по мокрой дороге, в третьих, подумайте зачем вам MTB на асфальте и поставьте мотор на туринг.
Радиус колеса влияет на силу трения качения, но весьма слабо при стандартных размерах колес 26-29″
На скоростях от 20 км/ч существенный вклад в торможение дает коэффициент аэродинамического сопротивления и площадь. Если хотим двигаться быстрее, нам нужно максимально поднять сиденье, опустить руль и принять гоночное положение корпуса параллельно земле. При необходимости нужно поменять руль на руль с выносом и дополнительными ухватами. Сомкнутые руки и обтягивающая одежда также прибавит несколько процентов в скорости. Для замедления при скатывании с горки я обычно максимально привстаю чтобы увеличить сопротивление и не перегреть тормоза.
На горках важен вес. В моих расчетах даже незаметный уклон в 2 метра подъема на 100 метров пути дает большее сопротивление, чем сопротивление воздуха вплоть до 20 км/ч. Добавление 5 лишних кг увеличивает потребную мощность при 20 км/ч с 258 до 270 Вт, а при 5 градусах с 341 до 358. В целом, увеличение сопротивления линейно от веса, поэтому это не так критично как сопротивление воздуха на скорости.
Потребная мощность $Pv$ растет не линейно от скорости как ожидаешь от формулы, а почти кубически, т.к. в состав $F_v$ входит сила сопротивления воздуха $F_w$ с квадратичной зависимостью от скорости $V$ . Отсюда главный вывод — чем быстрее мы пытаемся ехать, тем меньше эффективность затраченной энергии. Тише едешь — дальше будешь. После 7 км/ч при наших исходных данных начинает значительно расти затраты энергии на 1 км пройденного пути. После 40 км/ч эти относительные затраты начинают постепенно замедляться, но к этому моменту они уже в 2 раза больше чем при 7 км/ч.
В классическом MTB примерно 30% веса приходится на переднее колесо и 70% на заднее, значит сила сопротивления качения на заднем колесе в 2 раза больше чем на переднем. Именно задняя покрышка и давление в ней больше всего влияет на накат. Нужно ставить более качественную покрышку сзади с высоким TPI, менее злым протектором и мягче (если позволяют финансы чаще менять ее) и накачивать ее большим давлением чем переднюю.
Переднее колесо отвечает за управление. Если наехать на камень в повороте задним колесом, то возникший занос можно исправить за счет управления передним колесом. Снос переднего колеса исправить гораздо сложнее, поэтому на нее нужно ставить более зубастую резину.
Переднее колесо в первую очередь режет воздух при движении велосипеда. За ним образуется зона низкого давления в котором рама и заднее колесо испытывает меньшее сопротивление. На больших скоростях важно иметь меньшее поперечное сечение и лучшую обтекаемость, поэтому на переднее колесо лучше ставить более узкую резину.
Более узкая и зубастая резина лучше режет воду, поэтому потеря управления менее вероятна с таким передним колесом особенно учитывая что его загрузка лишь 30% от общей массы. При прохождении луж нужно больше переносить вес вперед.
При более зубастой и узкой резине ухудшается накат, поэтому в качестве небольшой компенсации на переднее колесо имеет смысл поставить покрышку большего диаметра и с большим TPI. Это дополнительно улучшит комфорт при прохождении кочек, правда немного увеличит общий вес.

Силы двигателя на электровелосипеде

Как уже писал, классическое мотор-колесо в e-bike имеет низкую эффективность на малых скоростях. Теперь мы знаем, что как раз на малых скоростях велосипедист показывает максимальную эффективность затраченной мышечной энергии. Если вместо мышечной силы подставить механическую силу мотора и выразить ее через электрическую, то можно получить суммарную зависимость эффективности движения электровелосипеда от скорости.

$P_m \cdot \eta_t = P_e \cdot \eta_m \cdot \eta_t = V \cdot (F_t + F_w + N)$

Где,
$P_m$ — Механическая мощность, развиваемая электромотором [Вт],
$P_e$ — Электрическая мощность, потребляемая электромотором [Вт],
$\eta_m$ — КПД электромотора равен $P_m/P_e$ и зависит от мощности.

Теперь мы знаем, что за счет распределения веса, на заднее мотор-колесо придется больше сопротивление качения $F_t$ и сила тяжести $N$ , чем на вариант с передним или mid-drive. Т.к. точных данных у меня нет, то оценить количественно не могу и в дальнейшем это учитывать не будем, как и то, что велосипед с мотор-колесом тяжелее mid drive.

Эффективность

Если просто взять данные по эффективности электромоторов из прошлой статьи и подставить данные нашего примера в эту формулу, то можно получить следующую зависимость пройденного расстояния на единицу затраченной электрической энергии от скорости с учетом всех сил, действующих на велосипед для двух наших электромоторов: кареточного mid drive 250 Вт и редукторного мотор-колеса 1000 Вт. Получается, что почти на всем своем диапазоне мощностей кареточный мотор в 2-3 раза более эффективен. С моей батареей 500 Втч в небольшой 2% подъем на кареточном моторе я проеду 500*0,3 = 150 км при скорости 8 км/ч, а на мотор-колесе 500*0,18 = 90 км на скорости 20 км/ч. На скорости 20 км/ч кареточный мотор пройдет 120 км, но увы, больше 25 км/ч в небольшую горку ему одному велосипед не разогнать. Кстати на горизонтальной поверхности максимальная эффективность доходит до 0,395 км/Втч при 10 км/ч, т.е. теоретически я могу проехать 200 км (500*0,4) за 20 часов 🙂 См. рисунок в заголовке статьи.

Выводы

Как видите, простого ответа на вопрос максимальной дальности того или иного e-bike нет. Это зависит от кучи вышеописанных параметров. Но хотябы теоретически я нашел объяснение данным одной немецкой компании, которые я приводил в своей первой статье. Вот они:

По факту, реальные массовые горные велосипеды имеют параметры хуже, чем те, что использовались в этих расчетах. В первую очередь, коэффициент трения качения может доходить до 0,05 и выше в зависимости от покрытия, давления в шинах и их типа, а это сразу в 5 раз уменьшит дальность. Во-вторых, на крутых подъемах пусть и очень коротких, тратится значительная часть батареи (каждый 1% подъема уменьшает максимальную дальность на 10-15%). В третьих, даже слабенький встречный ветер значительно портит картину (на скоростях от средних и выше) хоть мы этого и не замечаем. В четвертых, мой вес меньше 98% людей с таким же ростом — возьмите свой, добавьте рюкзак, одежду, обувь и получите средние 110 кг, что пропорционально уменьшит дальность (примерно на 20%). И в заключение, меньший КПД передачи за счет: худших подшипников, плохого обслуживания, не оптимальных передачах, малая жесткость рамы, мягкость вилки и задний амортизатор — всё это не поддается расчетной оценке, но «ест» энергию и КПД явно хуже принятых мной 96% как у шоссейника. Так что не стоит воспринимать эти графики буквально. Все вышеописанное просто дает понимание того, что и как влияет на эффективность нашего катания. А эффективность и комфорт чаще всего стоят на противоположных чашах весов, и комфорт обычно тяжелее.